Den ersten Fagottunterricht erhielt der 1977 geborene Hanno Dönneweg mit neun Jahren an der Jugendmusikschule St. Georgen im Schwarzwald. Von 1993 bis 1996 studierte er am Badischen Konservatorium Karlsruhe bei Oscar Bohórquez und wurde unter ihm Jungstudent an der Musikhochschule Köln. Dönneweg war zwischen 1995 und 1998 Mitglied des Bundesjugendorchesters und des Jeunesse Musicale Weltorchesters.

Der Musiker begann sein Studium an der Musikhochschule Stuttgart bei Professor Sergio Azzolini. 1998 wechselte er an die Hochschule für Musik „Hanns Eisler“ in Berlin zu Professor Klaus Thunemann. Dort schloss er sein Studium im April 2003 mit der Note sehr gut ab. Seit August 2002 ist er Solo-Fagottist des Radio-Sinfonieorchesters Stuttgart des SWR.

Er besuchte Meisterkurse bei Janos Meszaros, Helman Jung, Sergio Azzolini, Oscar Bohórquez und Klaus Thunemann. Hanno Dönneweg trat bei den Festspielen in Mecklenburg-Vorpommern, Schleswig-Holstein sowie Ittingen auf und musizierte mit Künstlern wie Jacques Zoon, Heinz Holliger, Radovan Vlatkovic, Leonidas Kavakos und Sabine Meyer. Er konzertiert regelmäßig mit dem Arsis-Trio sowie im Duo mit dem Organisten und Cembalisten Steffen Mark Schwarz.

Dönneweg spielte solistisch mit dem Radio-Sinfonieorchester Stuttgart des SWR, dem Orquesta Sinfonica de la Ciudad de Asunción in Paraguay, dem Folkwang Kammerorchester Essen sowie dem Arcata Kammerorchester Stuttgart unter Dirigenten wie Eiji Oue, Sigiswald Kuijken, Luis Szarán, Johannes Moesus und Patrick Strub.

Außerdem gibt er Meisterkurse in Deutschland, Japan, Taiwan und den USA. In 2008 und 2009 wurde Hanno Dönneweg als Dozent zum renommierten Affinis Festival nach Japan eingeladen.